Question

已知焦距为的双曲线的焦点在x轴上，且过点P .
（Ⅰ）求该双曲线方程 ；
（Ⅱ）若直线m经过该双曲线的右焦点且斜率为1，求直线m被双曲线截得的弦长.

Answer 1

(1) ；（2）|AB|="6" 。

解析试题分析：(1)设双曲线方程为（a,b＞0）
左右焦点F₁、F₂的坐标分别为（-2，0）（2，0）           1分
则|PF₁|－|PF₂|=2=2，所以=1，            ,3分
又c=2,b=                             5分
所以方程为                       6分
（2）直线m方程为y=x－2                        7分
联立双曲线及直线方程消y得2 x² +4x-7=0                     9分
设两交点，         x₁+x₂=-2,    x₁x₂=-3.5        10分
由弦长公式得|AB|=6                          12分
考点：双曲线的定义、几何性质、标准方程，直线与双曲线的位置关系。
点评：中档题，求圆锥曲线的标准方程，往往利用定义或曲线的几何性质，确定a,b,c,e等。涉及直线与圆锥曲线的位置关系问题，往往联立方程组，应用韦达定理，简化解题过程。本题直接利用弦长公式，计算较为简便。