Question

（本小题满分12分）甲、乙两运动员进行射击训练，已知他们击中的环数都稳定在7，8，9，10环，且每次射击成绩互不影响．射击环数的频率分布条形图如下：

若将频率视为概率，回答下列问题．(Ⅰ)求甲运动员在3次射击中至少有1次击中9环以上(含9环)的概率； (Ⅱ)若甲、乙两运动员各自射击1次，ξ表示这2次射击中击中9环以上(含9环)的次数，求ξ的分布列及Eξ．

Answer 1

（I）p= 0.992（II）Eξ=1.55．

解析:

解法一：(Ⅰ)甲运动员击中10环的概率是：1一0.1—0.1—0.45=0.35.

     设事件A表示“甲运动员射击一次，恰好命中9环以上(含9环，下同)”， 则P(A)=0.35+0.45=0.8.

事件“甲运动员在3次射击中，至少1次击中9环以上”包含三种情况：恰有1次击中9环以上，概率为p₁=C·0.8¹·(1-0.8)²=0.096； 恰有2次击中9环以上，概率为p₂=C·0.8²·(1-0.8)¹=0.384；

恰有3次击中9环以上，概率为p₃=C·0.8³·(1-0.8)⁰=0.512． 因为上述三个事件互斥，所以甲运动员射击3次，至少1次击中9环以上的概率p= p₁+ p₂+ p₃=0.992．

(Ⅱ)记“乙运动员射击1次，击中9环以上”为事件B，   则P(B)=1—0.1—0.15=0.75．

      因为表示2次射击击中9环以上的次数，所以的可能取值是0，1，2.

      因为P(=2)=0.8·0.75=0.6；   P(=1)=0.8·(1-0.75)+(1-0.8)·0.75=0.35；

      P(=0)=(1-0.8)·(1-0.75)=0.05．     所以的分布列是

ξ	0	1	2
P	0.05	0.35	0.6

    所以Eξ=0×0.05+1×0.35+2×0.6=1.55．

解法二：

    (Ⅰ)设事件A表示“甲运动员射击一次，恰好命中9环以上”(含9环，下同)，

     则P(A)=１－0.1－0.1=0.8．

     甲运动员射击3次，均未击中9环以上的概率为

     P₀=C·0.8⁰·(1-0.8)³=0.008．

    所以甲运动员射击3次，至少1次击中9环以上的概率P=1-P₀=0.992．

    (Ⅱ)同解法一．