Question

11．已知x，y∈R，满足x²+2xy+4y²=6，则z=x+y的取值范围为$[-\sqrt{6}，\sqrt{6}]$．

Answer 1

分析 x，y∈R，满足x²+2xy+4y²=6，即（x+y）²+$（\sqrt{3}y）^{2}$=6，α∈[0，2π）．令x+y=$\sqrt{6}$cosα，$\sqrt{3}$y=$\sqrt{6}$sinα，即可得出．

解答 解：∵x，y∈R，满足x²+2xy+4y²=6，即（x+y）²+$（\sqrt{3}y）^{2}$=6，α∈[0，2π）．
令x+y=$\sqrt{6}$cosα，$\sqrt{3}$y=$\sqrt{6}$sinα，
则z=x+y=$\sqrt{6}$cosα∈$[-\sqrt{6}，\sqrt{6}]$．
∴z=x+y的取值范围为$[-\sqrt{6}，\sqrt{6}]$．
故答案为：$[-\sqrt{6}，\sqrt{6}]$．

点评 本题考查了三角函数求值、换元方法、配方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．