Question

17．若sinx+siny=$\frac{1}{3}$，则t=sinx-cos²y的最大值为$\frac{4}{9}$．

Answer 1

分析 由已知等式表示出sinx，代入所求式子中利用同角三角函数间基本关系化简，设siny=m∈[-$\frac{2}{3}$，1]，得到t关于m的二次函数，结合二次函数性质及m的范围求出t的最大值即可．

解答 解：∵cos²y=1-sin²y，sinx=$\frac{1}{3}$-siny，
∴t=sinx-cos²y=$\frac{1}{3}$-siny-（1-sin²y）=sin²y-siny-$\frac{2}{3}$，
令siny=m∈[-$\frac{2}{3}$，1]，则t=m²-m-$\frac{2}{3}$=（m-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{11}{12}$，m∈[-$\frac{2}{3}$，1]，
当m=-$\frac{2}{3}$时，t取得最大值，最大值为$\frac{4}{9}$，
则t=sinx-cos²y的最大值为$\frac{4}{9}$，
故答案为：$\frac{4}{9}$．

点评 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．