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    北京市房山区2011年高三上学期期末统练试卷（数学理）.doc
     

     （本小题共13分）

    某同学设计一个摸奖游戏：箱内有红球3个，白球4个，黑球5个．每次任取一个，有放回地抽取3次为一次摸奖．至少有两个红球为一等奖，记2分；红、白、黑球各一个为二等奖，记1分；否则没有奖，记0分．

    （I）求一次摸奖中一等奖的概率；

    （II）求一次摸奖得分的分布列和期望．

    （本小题共13分）

    解：（I）每次有放回地抽取，取到红球的概率为；取到白球的概率为；取到

            黑球的概率为；                                         -------3分

    一次摸奖中一等奖的概率为．          ---------5分

       （II）设表示一次摸奖的得分，则可能的取值为0，1，2．  --------------6分

    ；

    ；                                --------8分

                            ---10分

    一次摸奖得分的分布列为

    2

    1

    0

    P

                                                                         ----------11分

    期望为．           ----------13分

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    （本小题共13分）

    在中，角A、B、C的对边分别为、、，角A、B、C成等差数列，，边的长为．

    （I）求边的长；

    （II）求的面积．

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    （本小题共14分）

    已知数列中，，设．

    （Ⅰ）试写出数列的前三项；

    （Ⅱ）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；

    （Ⅲ）设的前项和为，求证：．

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    （本小题共14分）

    设函数．

    （Ⅰ）求函数的定义域及其导数；

    （Ⅱ）当时，求函数的单调区间；

    （Ⅲ）当时，令，若在上的最大值为，求实数的值．

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    如图所示，是定义在区间（）上的奇函数，令，并有关于函数的四个论断：

    ①若，对于内的任意实数（），恒成立；

    ②函数是奇函数的充要条件是；

    ③若，，则方程必有3个实数根；

    ④，的导函数有两个零点；

    其中所有正确结论的序号是                 ．

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    （本小题共13分）

    已知正方形ABCD的边长为1，．将正方形ABCD沿对角线折起，使，得到三棱锥A—BCD，如图所示．

    （I）若点M是棱AB的中点，求证：OM∥平面ACD；

    （II）求证：；

    （III）求二面角的余弦值．

     


       

      

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