Question

12．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，x≥0}\\{-{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，若对任意的x≥1有f（x+2m）+mf（x）＞0恒成立，则实数m的取值范围是m＞-$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 讨论当m≥0时，不等式显然成立；当m＜0时，即有f（x+2m）＞f（$\sqrt{-mx}$），利用函数的单调性，即可得出结论．

解答 解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，x≥0}\\{-{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$是R上的递增函数
由f（x+2m）+mf（x）＞0得（x+2m）|x+2m|+mx²＞0，x≥1，
当m≥0时，即有（x+2m）²+mx²＞0，在x≥1恒成立．
当m＜0时，即有f（x+2m）＞f（$\sqrt{-mx}$），
∴x+2m＞$\sqrt{-mx}$，
∴（1-$\sqrt{-m}$）x+2m＞0在x≥1恒成立．
∴1-$\sqrt{-m}$＞0且1-$\sqrt{-m}$+2m＞0，
∴m＞-1且（4m+1））（m+1）＞0，
∴m＞-$\frac{1}{4}$．
故答案为：m＞-$\frac{1}{4}$．

点评 本题主要考查了恒成立问题的基本解法及分类讨论思想，正确分类讨论是解题的关键，属于中档题．