Question

在△ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对应的三边，已知csinA=-acosC
（1）求角C的大小；
（2）满足

3

sinA-cos(B+

3π

4

)=2的△ABC是否存在？若存在，求角A的大小．

Answer 1

分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，根据sinA不为0求出tanC的值，即可确定出C的度数；
（2）满足

3

sinA-cos（B+

3π

4

）=2的△ABC不存在，理由为：根据A的范围求出A+

π

6

的范围，利用正弦函数的值域得到sin（A+

π

6

）小于1，再由B+

3π

4

=π-A，

3

sinA-cos（B+

3π

4

）利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数小于1得到已知等式左边小于2，矛盾，故这样的三角形不存在．

解答：解：（1）由正弦定理，得sinC•sinA=-sinA•cosC，
∵0＜A＜π，
∴sinA＞0，
∴sinC=-cosC，
∵0＜C＜π，
∴cosC≠0，
∴tanC=-1，
则C=

3π

4

；
（2）满足

3

sinA-cos（B+

3π

4

）=2的△ABC不存在，理由为：
∵A∈（0，

π

4

），
∴A+

π

6

∈（

π

6

，

5π

12

），
∴sin（A+

π

6

）＜1，
由（1）知B+

3π

4

=π-A，得到

3

sinA-cos（B+

3π

4

）=

3

sinA+cosA=2sin（A+

π

6

）＜2，
∴这样的三角形不存在．

点评：此题考查考查了正弦定理，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．