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已知二项式(
3x
-
1
2
3x
n的展开式中,前三项系数的绝对值成等差数列.
(1)求展开式的常数项.
(2)求展开式中各项的系数之和.
(3)求展开式的第四项.
分析:(1)利用二项展开式的通项公式,令x的次数为0,即可求出常数项.
(2)令x=1,即可得到展开式中各项的系数之和
(3)利用二项展开式的通项公式,求T4即可.
解答:解:二项展开式的通项公式为Tk+1=
C
k
n
?(
3x
)
n-k
?(-
1
2
3x
)
k
=
C
k
n
?(
3x
)
n-2k
?(-
1
2
)
k
=
C
k
n
?(
3x
)
n-2k
?(-
1
2
)
k
?x
n-2k
3

前三项的系数分别为1,-
1
2
n,
1
4
×
n(n-1)
2

∵前三项系数的绝对值成等差数列,
∴1+
1
8
n(n-1)=n
,解得n=8.即Tk+1=
C
k
8
?(-
1
2
)
k
?x
8-2k
3

(1)常数项为T5=
C
4
8
?(-
1
2
)
4
=
35
8

(2)令x=1,即可得到展开式中各项的系数之和为(1-
1
2
 8=(
1
2
)8=
1
256

(3)第四项T4=
C
3
8
?(-
1
2
)
3
?x
2
3
=-7x
2
3
点评:本题主要考查二项式定理的基本应用,利用展开式的通项公式是解决本题的关键.
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已知二项式(
3x
+
1
x
)n
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x
-
2
3x
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