Question

已知i，j是x，y轴正方向上的单位向量，设a=（x-

3

）i+yj，b=（x+

3

）i+yj，，且满足|a|+|b|=4．
（1）求点P（x，y）的轨迹C的方程；
（2）如果过点Q（0，m）且方向向量为c=（1，1）的直线l与点P的轨迹交于A，B两点，当△AOB的面积取到最大值时，求m的值．

Answer 1

分析：（1）条件“|a|+|b|=4”可以看成是动点到两定点的距离之和为4，联想椭圆的定义解决“点P（x，y）的轨迹C”；
（2）△AOB的面积取到最大值问题，要先建立关于某个自变量的函数，后再求此函数的最大值．

解答：解：（1）∵a=（x-

3

）i+yj，
b=（x+

3

）i+yj且|a|+|b|=4，
∴点P（x，y）到点（

3

，0），（-

3

，0）的距离之和为4，
故点P的轨迹方程为

x2

4

+y²=1．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）依题意得，直线AB的方程y=x+m，代入椭圆方程，得5x²+8mx+4m²-4=0，
则x₁+x₂=-

8

5

m，x₁•x₂=

4

5

（m²-1），
又O点到AB的距离d=

|m|

2

，
因此，S_△AOB=

1

2

|AB|•d
=

1

2

•

(1+1)[(x1+x2) 2-4x1x2]

•

|m|

2

=

2

5

(5-m)2•m2

，
∴当5-m²=m²时，即m=±

10

2

时，S_max=1．

点评：（1）平面向量与解析几何的结合通常涉及轨迹等问题的处理，目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算，或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题．
（2）直线l与点P的轨迹的交点问题，组成方程组解决．