Question

已知函数f（x）=2asin²x+2

3

asinx•cosx+a+b（a＞0，x∈R），当x∈[0，

π

2

]时，其最大值为6，最小值为3，
（1）求函数的最小正周期；
（2）求a，b的值；
（3）此函数的图象，可由y=sinx的图象经过怎样的变换得到．

Answer 1

分析：（1）先利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简整理，然后利用正弦函数的性质求得函数的最小正周期．
（2）根据正弦函数的单调性和x的范围，进而求得函数的最大和最小值，列出关于a，b的方程，解方程即可．
（3）分为四个步骤：①将y=sinx向右平移

π

6

，②纵坐标不变，横坐标变为原来的一半③横坐标不变，纵坐标变为原来的二倍④向上平移4个单位→y=2sin（2x-

π

6

）+4．

解答：解：f（x）=2asin²x+2

3

asinxcosx+a+b
=a（1-cos2x）+

3

asin2x+a+b
=2asin（2x-

π

6

）+2a+b （5分）
（1）T=π（7分）
（2）x∈[0，

π

2

]时，
2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]则有：sin（2x-

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
由条件：a+b=3，4a+b=6，则 a=1，b=2为所求．（11分）
（3）①将y=sinx向右平移

π

6

→y=sin（x-

π

6

），
②纵坐标不变，横坐标变为原来的一半→y=sin（2x-

π

6

），
③横坐标不变，纵坐标变为原来的二倍→y=2sin（2x-

π

6

）+4
④向上平移4个单位→y=2sin（2x-

π

6

）+4．（14分）
也可以先伸缩后平移，酌情给分．

点评：本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数y=Asin（ωx+φ）的性质等基础知识，考查基本运算能力．