Question

1．函数f（x）=ax²+c（a≠0），若${∫}_{0}^{1}$f（x）dx=f（x₀），其中-1＜x₀＜0，则x₀等于-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 先根据积分的计算法则求出$\frac{1}{3}$a+c=f（x₀）=ax₀²+c，继而得到x₀²=$\frac{1}{3}$，解得即可．

解答 解：${∫}_{0}^{1}$f（x）dx=${∫}_{0}^{1}$（ax²+c）dx=（$\frac{a}{3}$x³+cx）|${\;}_{0}^{1}$=$\frac{1}{3}$a+c=f（x₀）=ax₀²+c，
∵a≠0，
∴x₀²=$\frac{1}{3}$，
∵-1＜x₀＜0，
∴x₀=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案为：-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了定积分的计算和函数值的求法，以及方程的解法，属于基础题．