Question

18．已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²，设b_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$，记数列{b_n}的前n项和为T_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）求证：T_n=1-$\frac{n+1}{{3}^{n}}$．

Answer 1

分析 （1）由S_n=n²，利用公式${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，能求出a_n．
（2）由b_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{2n-1}{{3}^{n}}$，利用错位相减法能证明T_n=1-$\frac{n+1}{{3}^{n}}$．

解答 （1）解：∵数列{a_n}的前n项和S_n=n²，
∴a₁=S₁=1，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1．
n=1时，成立，
∴a_n=2n-1．
（2）证明：∵b_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{2n-1}{{3}^{n}}$，
∴T_n=$\frac{1}{3}+\frac{3}{{3}^{2}}+\frac{5}{{3}^{3}}+…+\frac{2n-1}{{3}^{n}}$，①
$\frac{1}{3}{T}_{n}$=$\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{3}{{3}^{3}}+\frac{5}{{3}^{4}}+…+\frac{2n-1}{{3}^{n+1}}$，②
①-②，得：$\frac{2}{3}{T}_{n}$=$\frac{1}{3}+\frac{2}{{3}^{2}}+\frac{2}{{3}^{3}}+…+\frac{2}{{3}^{n}}-\frac{2n-1}{{3}^{n+1}}$
=$\frac{1}{3}+\frac{\frac{2}{9}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}-\frac{2n-1}{{3}^{n+1}}$
=$\frac{2}{3}-\frac{1}{{3}^{n}}-\frac{2n-1}{{3}^{n+1}}$，
∴T_n=1-$\frac{n+1}{{3}^{n}}$．

点评 本题考查数列的通项公式和前n项和公式的证明，是中档题，解题时要注意错位相减法的合理运用．