Question

如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x-3y-6=0点T（-1，1）在AD边所在直线上．
（Ⅰ）求AD边所在直线的方程；
（Ⅱ）求矩形ABCD外接圆的方程；
（Ⅲ）若动圆P过点N（-2，0），且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．

Answer 1

分析：（I）先由AD与AB垂直，求得AD的斜率，再由点斜式求得其直线方程；
（II）先求得其圆心和半径，再由圆的标准方程求解；
（III）由圆心距等于两半径之和，抽象出双曲线的定义从而求得轨迹方程．

解答：解：（I）因为AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为-3
又因为点T（-1，1）在直线AD上，
所以AD边所在直线的方程为y-1=-3（x+1）．
3x+y+2=0．

（II）由

x-3y-6=0 3x+y+2=0

解得点A的坐标为（0，-2），
因为矩形ABCD两条对角线的交点为M（2，0）．
所以M为矩形ABCD外接圆的圆心．
又|AM|=

(2-0)2+(0+2)2

=2

2

．
从而矩形ABCD外接圆的方程为（x-2）²+y²=8．

（III）因为动圆P过点N，所以|PN|是该圆的半径，又因为动圆P与圆M外切，
所以|PM|=|PN|+2

2

，
即|PM|-|PN|=2

2

．
故点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为2

2

的双曲线的左支．
因为实半轴长a=

2

，半焦距c=2．
所以虚半轴长b=

c2-a2

=

2

．
从而动圆P的圆心的轨迹方程为

x2

2

-

y2

2

=1(x≤-

2

)．

点评：本题主要考查直线方程的求法，平面图形外接圆的求法和轨迹方程的求法．