Question

若对函数y=f（x）定义域内的每一个值x₁，都存在唯一的值x₂，使得f（x₁）f（x₂）=1成立，则称此函数为“黄金函数”，给出下列三个命题：
①y=x^-2是“黄金函数”；
②y=lnx是“黄金函数”；
③y=2^x是“黄金函数”，
其中正确命题的序号是

③

．

Answer 1

分析：由题意知若使得f（x₁）f（x₂）=1成立的函数一定是单调函数，①不是单调函数，不合题意．因为对于函数f（x）=lnx当x₁=1时，不存在x₂使得f（x₁）f（x₂）=1成立．得到结果．

解答：解：由题设知，对于f（x）定义域内的任意一个自变量x₁，存在定义域内的唯一一个自变量x₂，使得f（x₁）f（x₂）=1成立的函数一定是单调函数，否则可能存在定义域内的不止一个自变量x₂，使得f（x₁）f（x₂）=1成立．
∵①不是单调函数，不合题意．
②因为对于函数f（x）=lnx，当x₁=1时，不存在x₂使得f（x₁）f（x₂）=1成立，
对于③f（x）=2^x，满足对于f（x）定义域内的任意一个自变量x₁，都存在定义域内的唯一一个自变量x₂=-x₁使得f（x₁）f（x₂）=1成立，故③满足题意；
∴由此可知，满足条件的函数有③．
故答案为：③．

点评：本题考查函数的单调性及函数的特殊点的值，本题解题的关键是看出函数的单调性，并且注意函数自变量特殊值的性质，本题是一个中档题目．