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已知函数g(x)=
4x-n
2x
是奇函数,f(x)=log4(4x+1)+mx是偶函数.
(1)求m+n的值;
(2)设h(x)=f(x)+
1
2
x,若g(x)>h[log4(2a+1)]对任意x≥1恒成立,求实数a的取值范围.
(3)若对任意的t∈R,不等式g(t2-2t)+g(2t2-k)>0恒成立,求k的取值范围.
分析:(1)根据定义在R上奇函数满足g(0)=0,解出n=1,再根据f(-x)=f(x),化简整理得到m=-
1
2
,由此可得m+n的值;
(2)由(1)得h(x)=log4(4x+1),从而h[log4(2a+1)]=log4(2a+2),根据g(x)在区间[1,+∞)上是增函数,得g(x)min=g(1)=
3
2
,可建立关于a的不等式组,解之即可得到实数a的取值范围;
(3)根据g(x)是定义在R上的奇函数且是增函数,将原不等式转化为t2-2t>-2t2+k对一切t∈R恒成立,再结合一元二次不等式恒成立的条件,列出关于k的不等式,解之可得k的取值范围.
解答:解:(1)由于g(x)为奇函数,且定义域为R,
∴g(0)=0,即
40-n
20
=0,解之得n=1,…(2分)
由于f(x)=log4(4x+1)+mx,
∴f(-x)=log4(4-x+1)-mx=log4(4x+1)-(m+1)x,
∵f(x)=log4(4x+1)+mx是偶函数,
∴f(-x)=f(x),得到m=-
1
2
,由此可得:m+n的值为
1
2
;…(4分)
(2)∵h(x)=f(x)+
1
2
x=log4(4x+1),∴h[log4(2a+1)]=log4(2a+2),…(6分)
又∵g(x)=
4x-1
2x
=2x-2-x在区间[1,+∞)上是增函数,
∴当x≥1时,g(x)min=g(1)=
3
2
…(8分)
由题意得到
2a+2<4
3
2
2a+1>0
2a+2>0
,解之得-
1
2
<a<3,得a的取值范围是:(-
1
2
,3).…(9分)
(3)g(x)=2x-2-x在区间(-∞,+∞)上是增函数,
又∵g(-x)=-g(x),得g(x)是奇函数,
∴不等式g(t2-2t)+g(2t2-k)>0等价于g(t2-2t)>-g(2t2-k)=g(-2t2+k)…(10分)
由g(x)在R上是增函数得,t2-2t>-2t2+k对一切t∈R恒成立,…(12分)
即3t2-2t-k>0对一切t∈R恒成立,,所以△=4+12k<0,解之得k<-
1
3
…(14分)
点评:本题给出含有指数和对数的函数,讨论函数的奇偶性、单调性并解决关于x的不等式恒成立的问题,着重考查了基本初等函数的图象与性质和不等式恒成立问题的处理等知识,属于中档题.
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相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数g(x)=
3
4
-
1
2
sinxcosx-
3
2
sin2
x,将其图象向左移
π
4
个单位,并向上移
1
2
个单位,得到函数f(x)=acos2(x+φ)+b(a>0,b∈R,|φ|≤
π
2
)
的图象.
(1)求实数a,b,φ的值;
(2)设函数φ(x)=g(x)-
3
f(x),x∈[0,
π
2
]
,求函数φ(x)的单调递增区间和最值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=4-x2,g(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,当x>0时,g(x)=log2x,则函数y=f(x)•g(x)的大致图象为(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数g(x)=ax-
ax
-5lnx,其中a∈R.
(1)若g(x)在其定义域内为增函数,求正实数a的取值范围;
(2)设函数h(x)=x2-mx+4,当a=2时,若?x1∈(0,1),?x2∈[1,2],总有g(x1)≥h(x2)成立,求实数m的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:阅读理解

(2009•金山区二模)设函数f(x)=x2+x.(1)解不等式:f(x)<0;(2)请先阅读下列材料,然后回答问题.
材料:已知函数g(x)=-
1
f(x)
,问函数g(x)是否存在最大值或最小值?若存在,求出最大值或最小值;若不存在,说明理由.一个同学给出了如下解答:
解:令u=-f(x)=-x2-x,则u=-(x+
1
2
2+
1
4

当x=-
1
2
时,u有最大值,umax=
1
4
,显然u没有最小值,
∴当x=-
1
2
时,g(x)有最小值4,没有最大值.
请回答:上述解答是否正确?若不正确,请给出正确的解答;
(3)设an=
f(n)
2n-1
,请提出此问题的一个结论,例如:求通项an.并给出正确解答.
注意:第(3)题中所提问题单独给分,.解答也单独给分.本题按照所提问题的难度分层给分,解答也相应给分,如果同时提出两个问题,则就高不就低,解答也相同处理.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数g(x)=2sin(3x-
π
4
)+1,当x∈[0,
π
3
]时方程g(x)=m恰有两个不同的实根x1,x2,则x1+x2=(  )
A、
π
3
B、
π
2
C、π
D、2π

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