Question

11．已知S_n 为等差数列{a_n}的前n项和，a₁=25，a₄=16．
（1）求n为何值时，S_n 取得最大值？
（2）求a₂ +a₄+a₆+a₈+…+a₂₀的值．
（3）求数列{|a_n|}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）运用等差数列的通项公式可得d=-3，由数列的单调性，即可得到最大值时n的值；
（2）由等差数列的求和公式计算即可得到；
（3）当1≤n≤9时，a_n＞0，|a_n|=a_n，前n项和T_n=S_n，当n＞9时，a_n＜0，|a_n|=-a_n，前n项和T_n=-（S_n-S₉）+S₉=2S₉-S_n，由等差数列的求和公式，计算即可得到．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
由a₁=25，a₄=16可得3d=16-25=-9，
解得d=-3，
a_n=25-3（n-1）=28-3n，
可得数列{a_n}为递减数列，当1≤n≤9时，a_n＞0，
当n＞9时，a_n＜0，
则当n=9时，S_n 取得最大值；
（2）a₂ +a₄+a₆+a₈+…+a₂₀=（28-6）+（28-12）+（28-18）+（28-24）+…+（28-60）
=$\frac{1}{2}$×（22-32）×10=-50；
（3）当1≤n≤9时，a_n＞0，|a_n|=a_n，
前n项和T_n=S_n=$\frac{1}{2}$（25+28-3n）n=$\frac{1}{2}$n（53-3n）；
当n＞9时，a_n＜0，|a_n|=-a_n，
前n项和T_n=-（S_n-S₉）+S₉=2S₉-S_n=2×117-$\frac{1}{2}$n（53-3n）
=234-$\frac{53}{2}$n+$\frac{3}{2}$n²．
则有T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}n（53-3n），n≤9}\\{234-\frac{1}{2}n（53-3n），n≥10}\end{array}\right.$．

点评 本题考查等差数列的通项和求和公式的运用，考查数列的单调性的运用，以及含绝对值的数列的和的求法，注意分类讨论的思想方法，属于中档题和易错题．