Question

已知函数f(x)=

2x+1

x+1

（1）判断函数在区间[1，+∞）上的单调性，并用定义证明你的结论；
（2）求该函数在区间[1，4]上的最大与最小值．

Answer 1

分析：（1）任取x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，然后通过化简变形判定f（x₁）-f（x₂）的符号，从而得到函数的单调性；
（2）根据（1）知函数f（x）在[1，4]上是增函数，将区间端点代入，从而求出函数最值．

解答：解：（1）任取x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，
f(x1)-f(x2)=

2x1+1

x1+1

-

2x2+1

x2+1

=

(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

∵x₁-x₂＜0，（x₁+1）（x₂+1）＞0，
所以，f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂），
所以函数f（x）在[1，+∞）上是增函数．
（2）由（1）知函数f（x）在[1，4]上是增函数．
最大值为f(4)=

2×4+1

4+1

=

9

5

，最小值为f(1)=

2×1+1

1+1

=

3

2

．

点评：本题主要考查了利用定义法证明函数的单调性，以及利用单调性求函数的最值，属于中档题．