Question

已知函数f(x)=

3

sin(2ωx-

π

3

)+b，且该函数图象的对称中心和对称轴的最小距离为

π

4

，当x∈[0，

π

3

]时，f（x）的最大值为

5

2

．
（1）求f（x）的解析式．
（2）画出f（x）在长度为一个周期内的简图（直接画图，不用列表）．
（3）分步说明该函数的图象是由正弦曲线经过怎样的变化得到的．

Answer 1

分析：（1）由函数图象的对称中心和对称轴的最小距离为

π

4

，得周期，从而可得ω，由最大值可得b；
（2）用五点法可作得函数图象；
（3）根据图象的变化规律可逐步得到；

解答：解：（1）∵该函数图象的对称中心和对称轴的最小距离为

π

4

，
∴最小正周期T=π，则ω=1，
当x∈[0，

π

3

]时，2x-

π

3

∈[-

π

3

，

π

3

]，
∴f（x）_max=

3

×

3

2

+b=

5

2

，解得b=1，
∴f（x）=

3

sin(2x-

π

3

)+1；
（2）函数f（x）的图象如右：
（3）把函数y=sinx的图象向右平移

π

3

个单位得到y=sin（x-

π

3

）的图象，纵坐标不变，横坐标缩短为原来的

1

2

倍，
得到y=sin（2x-

π

3

）的图象，横坐标不变，纵坐标伸长为原来的

3

倍，得到y=

3

sin（x-

π

3

）的图象，
再把图象上所有点向上平移1个单位，得到f（x）=

3

sin(2x-

π

3

)+1的图象．

点评：本题考查y=Asin（ωx+φ）+b的图象作法、图象变换及函数解析式的求解，属中档题．