Question

已知

a

=（sin

4θ

3

，cos

4θ

3

），

b

=（-sin

2θ

3

，cos

2θ

3

），且θ∈[0，

π

3

]．
（1）求

a • b

| a + b |

的最值； 
（2）若|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|（k∈R），求k的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）运用向量的数量积的坐标表示，求得向量a，b的数量积和a，b的和的模，再由二倍角公式及θ的范围，结合余弦函数的单调性，即可得到最值；
（2）运用向量的平方即为模的平方，化简整理，由余弦函数的单调性，得到k的不等式，解得即可．

解答： 解：（1）

a

=（sin

4θ

3

，cos

4θ

3

），

b

=（-sin

2θ

3

，cos

2θ

3

），
则

a

•

b

=cos

2θ

3

cos

4θ

3

-sin

2θ

3

sin

4θ

3

=cos（

2θ

3

+

4θ

3

）=cos2θ，
|

a

+

b

|=

a 2+ b 2+2 a • b

=

1+1+2cos2θ

=|2cosθ|=2cosθ，
则

a • b

| a + b |

=

cos2θ

2cosθ

=

2cos2θ-1

2cosθ

=cosθ-

1

2cosθ

，
由θ∈[0，

π

3

]，则cosθ∈[

1

2

，1]，
则令t=cosθ，则有t-

1

2t

递增，当t=1，取得最大值

1

2

，t=

1

2

，取得最小值-

1

2

．
则有θ=0，

a • b

| a + b |

的最大值为

1

2

；θ=

π

3

时，

a • b

| a + b |

的最小值为-

1

2

；
（2）若|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|，则（k

a

+

b

）²=3（

a

-k

b

）²，
即有k²

a

2+

b

2+2k

a

•

b

=3（

a

2+k2

b

2-2k

a

•

b

）
k²+1+2kcos2θ=3+3k²-6kcos2θ，
即cos2θ=

1+k2

4k

，
由于θ∈[0，

π

3

]，则2θ∈[0，

2π

3

]，cos2θ∈[-

1

2

，1]，
即有-

1

2

≤

1+k2

4k

≤1，
解得，2-

3

≤k≤2+

3

．
则k的取值范围为[2-

3

，2+

3

]．

点评：本题考查平面向量的数量积的坐标表示和性质，考查三角函数的化简和求值，考察余弦函数的单调性和值域，考查运算能力，属于中档题．