Question

在三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB＝BC＝CA＝AA₁＝2，侧棱AA₁⊥面ABC，D、E分别是棱A₁B₁、AA₁的中点，点F在棱AB上，且．

（Ⅰ）求证：EF∥平面BDC₁；
（Ⅱ）求二面角E－BC₁－D的余弦值．

Answer 1

（I）详见解析；（II）二面角E－BC₁－D的余弦值为．

试题分析：（I）由于EF与BD在同一个平面内，显然考虑在ABB₁A₁这个平面内证明这两条直线平行，这完全就是平面几何的问题了.取AB的中点M，，所以F为AM的中点，又因为E为的中点，所以.又分别为的中点，，且，所以四边形为平行四边形，，，由此可得平面.
（II）取AB的中点M，则MB、MC、MD两两垂直，所以可以以M为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角E－BC₁－D的余弦值.
试题解析：（I）证明：取AB的中点M，
，所以F为AM的中点，又因为E为的中点，所以.
在三棱柱中，分别为的中点，
，且，
所以四边形为平行四边形，，
，又平面，平面，
所以平面.

（II）以AB的中点M为原点，分别以、、所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图所示，

则，，，，
∴，，．
设面BC₁D的一个法向量为，面BC₁E的一个法向量为，
则由得取，
又由得取，
则，
故二面角E－BC₁－D的余弦值为．       12分