Question

4．已知函数f（x）=ax³+$\frac{1}{2}$x²-2x+c．
（1）若x=-1是f（x）的极值点且f（x）的图象过原点，求f（x）的极值；
（2）若g（x）=$\frac{1}{2}$bx²-x+d，在（1）的条件下，是否存在实数b，使得函数g（x）的图象与函数f（x）的图象恒有含x=-1的二个不同的交点？若存在，求出实数b的取值范围；否则说明理由．

Answer 1

分析 （1）求导数，f′（x）=3ax²+x-2，根据x=-1是f（x）的极值点，便有f′（-1）=0，这样可求出a=1，而根据f（x）的图象过原点可得出c=0，这样即可得出f（x）=${x}^{3}+\frac{1}{2}{x}^{2}-2x$，从而求出f（-1）便是f（x）的极值；
（2）根据题意可知，g（-1）=$\frac{3}{2}$，这样可得到d=$\frac{1-b}{2}$，并且方程f（x）=g（x）有含x=-1的两个不同解，这样即可得到方程${x}^{3}+（\frac{1}{2}-\frac{1}{2}b）{x}^{2}-x+\frac{b-1}{2}=0$，该方程可以设成$（x+1）（{x}^{2}+ex+\frac{b-1}{2}）=0$，这样便可以求出$e=-\frac{1+b}{2}$，从而得出方程${x}^{2}-\frac{1+b}{2}x+\frac{b-1}{2}=0$有两个相等的实数根，且不是-1，这样便有△=0，这样便可求出b的值，也就得到了b的取值范围．

解答 解：（1）f′（x）=3ax²+x-2；
x=-1是f（x）的极值点；
∴f′（-1）=3a-3=0；
∴a=1；
又f（x）的图象过原点；
∴c=0；
∴$f（x）={x}^{3}+\frac{1}{2}{x}^{2}-2x$；
∴f（x）的极值为f（-1）=$\frac{3}{2}$；
（2）根据题意，$g（-1）=\frac{1}{2}b+1+d=\frac{3}{2}$；
∴$d=\frac{1-b}{2}$；
令f（x）=g（x），即${x}^{3}+\frac{1}{2}{x}^{2}-2x=\frac{1}{2}b{x}^{2}-x+\frac{1-b}{2}$；
即${x}^{3}+（\frac{1}{2}-\frac{1}{2}b）{x}^{2}-x+\frac{b-1}{2}=0$，该方程有两个不同的实数根，其中一个为-1；
∴该方程可设成$（x+1）（{x}^{2}+ex+\frac{b-1}{2}）=0$；
展开为：${x}^{3}+（1+e）{x}^{2}+（e+\frac{b-1}{2}）x+\frac{b-1}{2}=0$；
∴$1+e=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}b$；
∴$e=-\frac{1+b}{2}$；
则方程${x}^{2}-\frac{1+b}{2}x+\frac{b-1}{2}=0$有2个相同的实根，且不为-1；
∴$△=（\frac{1+b}{2}）^{2}-2（b-1）=0$，且1$+\frac{1+b}{2}+\frac{b-1}{2}≠0$；
解得b=3；
∴存在实数b，使得函数g（x）的图象与函数f（x）的图象恒有含x=-1的二个不同的交点，且实数b的取值范围为：{3}．

点评 考查函数极值点概念，函数在极值点处导数的取值情况，函数图象上点的坐标满足函数解析式，以及两函数图象的交点情况和两函数解析式形成的方程解的关系，一元二次方程的解的情况和判别式△取值的关系．