Question

9．如图，在△ABC中，C=$\frac{π}{2}$，A=$\frac{π}{3}$，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，若DE的长为2，则AC=10．

Answer 1

分析 设AB=2r，利用直角△ABC的边角关系即可得出BC，利用弦切角定理可得∠BCD=∠A=60°．利用直角△BCD的边角关系即可得出CD，BD．再利用切割线定理可得CD²=DE•DB，即可求出AC．

解答 解：设AB=2r，则
在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=2r，
∴BC=AB•sin60°=$\sqrt{3}$r．
∵CD是此圆的切线，∴∠BCD=∠A=60°．
在Rt△BCD中，CD=BC•cos60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，BD=BC•sin60°=$\frac{3}{2}$r．
由切割线定理可得CD²=DE•DB，
∴（$\frac{\sqrt{3}}{2}$r）²=5•$\frac{3}{2}$r，解得r=10．
∴AB=20，AC=10
故答案为：10．

点评 熟练掌握直角三角形的边角关系、弦切角定理、切割线定理是解题的关键．