Question

已知抛物线C：y²=4x的对称轴上一点A（a，0）（a＞0），过点A的直线l交抛物线于M、N两点．
（1）若抛物线C上到点A最近的点恰为抛物线的顶点（0，0），求a的取值范围；
（2）设直线OM的斜率为k_OM，直线ON的斜率为k_ON，若k_OM•k_ON=-2，求a的值．

Answer 1

分析：（I）设抛物线上任意一点P（x，y），则PA²=（x-a）²+4x=[x-（a-2）]²+4a-4，由0＜a≤2结合二次函数的性质可求
（II）设直线l：x=ty+a代入y²=4x得：y²-4ty-4a=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）则y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4a，代入KOM•KON=

y1

x1

•

y2

x2

=

y1y2

(ty1+a)(ty2+a)

可求a

解答：解：（I）设抛物线上任意一点P（x，y）
则PA²=（x-a）²+4x=[x-（a-2）]²+4a-4
由条件可知，a-2≤0，∴0＜a≤2
（II）设直线l：x=ty+a代入y²=4x得：y²-4ty-4a=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）则y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4a
∴KOM•KON=

y1

x1

•

y2

x2

=

y1y2

(ty1+a)(ty2+a)

=

y1y2

t2y1y2+at(y1+y2)+a2

=

4a

-a2

=-2
∴a=2

点评：本题以抛物线的为载体考查了二次函数的性质，要注意0＜a≤2的条件的限制，（2）主要考查了方程的根与系数关系的应用，体现出函数与方程的相互转化的思想在解题中的应用．