Question

10．已知圆C与两坐标轴都相切，圆心C到直线y=-x的距离等于$\sqrt{2}$．
（1）求圆C的方程；
（2）若直线l与x轴正半轴与y正半轴分别交于A（m，0），B（0，n）两点（m＞2，n＞2），且直线l与圆C相切，求三角形AOB面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）设圆的圆心为（a，b），半径为r，运用直线和圆相切的条件：d=r，解方程即可得到所求圆的方程；
（2）设直线l方程为nx+my-mn=0，由直线和圆相切的条件：d=r，化简整理可得$m+n=\frac{mn+2}{2}$，运用基本不等式可得mn的最小值，即可得到所求三角形的面积的最小值．

解答 解；（1）设圆的圆心为（a，b），半径为r，
由题意可得|a|=|b|=r，$\frac{|a+b|}{\sqrt{2}}$=r，
解得a=b=r=1，或a=b=-1，r=1，
可得圆C方程为（x-1）²+（y-1）²=1，或（x+1）²+（y+1）²=1．
（2）直线l方程为nx+my-mn=0，∵直线l与圆C：（x-1）²+（y-1）²=1相切，
∴$\frac{{|{n+m-mn}|}}{{\sqrt{{n^2}+{m^2}}}}=1$，
∴（n+m-mn）²=n²+m²，左边展开，整理得，mn=2m+2n-2．∴$m+n=\frac{mn+2}{2}$．
∵$m＞0，n＞0，m+n≥2\sqrt{mn}$，
∴$\frac{mn+2}{2}≥2\sqrt{mn}$，∴${（\sqrt{mn}）^2}-4\sqrt{mn}+2≥0$，
∴$\sqrt{mn}≥2+\sqrt{2}，或\sqrt{mn}≤2-\sqrt{2}$．∵m＞2，n＞2，
∴$\sqrt{mn}≥2+\sqrt{2}$，∴mn≥6+4$\sqrt{2}$，
三角形AOB面积$s=\frac{1}{2}mn$≥3+2$\sqrt{2}$，
则m=n=2+$\sqrt{2}$时，取得最小值为3+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查圆的方程的求法和三角形的面积的最值，注意运用直线和圆相切的条件：d=r，以及基本不等式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．