Question

【题目】已知右焦点为F2（c，0）的椭圆C： + =1（a＞b＞0）过点（1， ），且椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点（ ，0）作直线l与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中点为M，点A是椭圆C的右顶点，求直线MA的斜率k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵椭圆C过点（1， ），∴ + =1，①

∵椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点，∴a=2c，

∴ ，②

由①②得a=2，b= ，

∴椭圆C的方程为

（2）

解：依题意，直线l过点（ ，0）且斜率不为零，故可设其方程为x=my+

联立方程组消去x，并整理得4（3m2+4）y2+12my﹣45=0

设E（x1，y1），F（x2，y2），M（x0，y0），则

∴y1+y2=﹣ ，

∴y0=﹣ ，x0= ，

∴k= ，

①当m=0时，k=0；

②当m≠0时，k= ，

∵|4m+ |=4|m|+ ≥8，∴0＜|k|≤ ，∴﹣ ≤k≤ 且k≠0．

综合①②可知直线MA的斜率k的取值范围是：﹣ ≤k≤ ．

【解析】（1）由椭圆C： + =1（a＞b＞0）过点（1， ），且椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点，求出a，b，c，椭圆方程可求；（2）线l过点（ ，0）且斜率不为零，故可设其方程为x=my+ ，和椭圆方程联立，把MA的斜率用直线l的斜率表示，由基本不等式求得范围．