Question

【题目】已知f（x）是定义在（﹣1，1）上的偶函数，当x∈[0，1）时f（x）=lg ，
（1）求f（x）的解析式；
（2）探求f（x）的单调区间，并证明f（x）的单调性．

Answer 1

【答案】
（1）解：设x∈（﹣1，0），则﹣x∈（0，1），

∴f（﹣x）=lg ，

∵f（x）是定义在（﹣1，1）上的偶函数，

∴f（x）=f（﹣x）=lg ，

综上可得：f（x）=

（2）解：f（x）在[0，1）上单调递减，在（﹣1，0）单调递增．证明如下：

∵f′（x）= ，

当x∈（﹣1，0）时，f′（x）＞0恒成立，

当x∈[0，1），f′（x）＜0恒成立，

故f（x）在[0，1）上单调递减，在（﹣1，0）单调递增

【解析】（1）根据f（x）是定义在（﹣1，1）上的偶函数，当x∈[0，1）时f（x）=lg ，求出x∈（﹣1，0）时函数的解析式，综合可得答案；（2）f（x）在[0，1）上单调递减，在（﹣1，0）单调递增，利用导数法可证得结论．
【考点精析】本题主要考查了奇偶性与单调性的综合和利用导数研究函数的单调性的相关知识点，需要掌握奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性；一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题．