Question

已知f(x)=lg(a^x-b^x)(a>1>b>0).
(1)求y=f(x)的定义域；
(2)在函数图象上是否存在不同两点，使过两点的直线平行于x轴?

Answer 1

(1)由a^x-b^x>0，得()^x>1=()⁰.
∵>1，∴x>0.
∴函数的定义域为(0，+∞).
(2)先证明f(x)是增函数.
对于任意x₁>x₂>0，∵a>1>b>0，
∴>，<.
∴->-.
∴lg(-)>lg(-).
∴f(x₁)>f(x₂).
∴f(x)在(0，+∞)上为增函数.
假设y=f(x)上存在不同的两点A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，使直线AB平行于x轴，
则x₁≠x₂，y₁=y₂，这与f(x)是增函数矛盾.
∴y=f(x)的图象上不存在两点，使过这两点的直线平行于x轴.

(2)的思维难点是把问题化归为研究函数的单调性问题.