Question

已知函数f（x）=（x-1）²，数列{a_n}是公差为d的等差数列，{b_n}是公比为q（q∈R，q≠1）的等比数列．若a₁=f（d-1），a₃=f（d+1），b₁=f（q-1），b₃=f（q+1）．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{c_n}对任意自然数n均有

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=an+1，求c₁+c₃+c₅+…+c_2n-1的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意知d²-（d-2）²=2d，解得d=2．所以a_n=2（n-1）．再由

b3

b1

=q2，知

f(q+1)

f(q-1)

=q2=

q2

(q-2)2

．由此能够导出b_n=3^n-1．
（Ⅱ）由题设知

c1

b1

=a2，c₁=2．所以

c1

b1

+

c2

b2

++

cn-1

bn-1

+

cn

bn

=an+1，

c1

b1

+

c2

b2

++

cn-1

bn-1

=an，由此能够推导出c₁+c₃+c₅++c_2n-1=

32n-1

4

．

解答：解：（Ⅰ）∵a₃-a₁=2d，∴f（d+1）-f（d-1）=2d．
即d²-（d-2）²=2d，解得d=2．
∴a₁=f（2-1）=0．∴a_n=2（n-1）．
∵

b3

b1

=q2，∴

f(q+1)

f(q-1)

=q2=

q2

(q-2)2

．
∵q≠0，q≠1，∴q=3．
又b₁=f（q-1）=1，∴b_n=3^n-1．
（Ⅱ）由题设知

c1

b1

=a2，∴c₁=a₂b₁=2．
当n≥2时，

c1

b1

+

c2

b2

++

cn-1

bn-1

+

cn

bn

=an+1，

c1

b1

+

c2

b2

++

cn-1

bn-1

=an，
两式相减，得

cn

bn

=an+1-an=2．
∴c_n=2b_n=2×3^n-1（c₁=b₁a₂=2适合）．
∴c₁+c₃+c₅++c_2n-1=2（1+3²+3⁴++3^2n-2）=2×

32n-1

32-1

=

32n-1

4

．
即c₁+c₃+c₅++c_2n-1=

32n-1

4

．

点评：本题考查数列的性质及其应用，解题时要注意公式的灵活运用．