Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．

（1）证明：MN∥平面PAB；
（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：法一、如图，取PB中点G，连接AG，NG，

∵N为PC的中点，

∴NG∥BC，且NG= BC，

又AM= ，BC=4，且AD∥BC，

∴AM∥BC，且AM= BC，

则NG∥AM，且NG=AM，

∴四边形AMNG为平行四边形，则NM∥AG，

∵AG平面PAB，NM平面PAB，

∴MN∥平面PAB；

法二、

在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，

在△ABC中，由已知AB=AC=3，BC=4，得cos∠ACB= ，

∵AD∥BC，

∴cos ，则sin∠EAM= ，

在△EAM中，

∵AM= ，AE= ，

由余弦定理得：EM= = ，

∴cos∠AEM= ，

而在△ABC中，cos∠BAC= ，

∴cos∠AEM=cos∠BAC，即∠AEM=∠BAC，

∴AB∥EM，则EM∥平面PAB．

由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AC，又NE⊥AC，

∴NE∥PA，则NE∥平面PAB．

∵NE∩EM=E，

∴平面NEM∥平面PAB，则MN∥平面PAB

（2）解：在△AMC中，由AM=2，AC=3，cos∠MAC= ，得CM2=AC2+AM2﹣2ACAMcos∠MAC= ．

∴AM2+MC2=AC2，则AM⊥MC，

∵PA⊥底面ABCD，PA平面PAD，

∴平面ABCD⊥平面PAD，且平面ABCD∩平面PAD=AD，

∴CM⊥平面PAD，则平面PNM⊥平面PAD．

在平面PAD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．

在Rt△PAC中，由N是PC的中点，得AN= = ，

在Rt△PAM中，由PAAM=PMAF，得AF= ，

∴sin ．

∴直线AN与平面PMN所成角的正弦值为 ．

【解析】（1）法一、取PB中点G，连接AG，NG，由三角形的中位线定理可得NG∥BC，且NG= BC，再由已知得AM∥BC，且AM= BC，得到NG∥AM，且NG=AM，说明四边形AMNG为平行四边形，可得NM∥AG，由线面平行的判定得到MN∥平面PAB；
法二、证明MN∥平面PAB，转化为证明平面NEM∥平面PAB，在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，由已知PA⊥底面ABCD，可得PA∥NE，通过求解直角三角形得到ME∥AB，由面面平行的判定可得平面NEM∥平面PAB，则结论得证；（2）连接CM，证得CM⊥AD，进一步得到平面PNM⊥平面PAD，在平面PAD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．然后求解直角三角形可得直线AN与平面PMN所成角的正弦值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用直线与平面平行的判定和空间角的异面直线所成的角的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．