Question

一条斜率为1的直线l与离心率为的双曲线E:=1(a＞0，b＞0)交于P、Q两点，直线l与y轴交于R，且=-3，，求直线l与双曲线E的方程．

Answer 1

解：由3=e²=1+()²，得b²=2a²，

双曲线方程设为=1        ①

设直线l的方程为y=x+m，代入①，得：

2x²-(x+m)²=2a²，即：x²-2mx-(m²+2a²)=0

设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，

则x₁+x₂=2m，x₁·x₂=-m²-2a²．

y₁y₂=(x₁+m)(x₂+m)=x₁x₂+m(x₁+x₂)+m²

=-m²-2a²+2m²+m²=2(m²-a²)．

∴-3==x₁x₂+y₁y₂=m²-4a²，

∴4a²-m²-3=0                          ②

∵∴点R分所成的比为3，点R的坐标为(0，m)，则：

m=+m

∴x₁=-3x₂，代入x₁+x₂=2m，得

x₁=3m，x₂=-m，

代入x₁·x₂=-m²-2a²，得-3m²=-m²-2a²，

∴m²=a²

代入②得a²=1，从而m=±1

∴直线l的方程为y=x±1，双曲线的方程为x²-=1