Question

3．已知下列函数在x=0处可导，求a和b的值．
y=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}，x＜0}\\{a+bx，x≥0}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 由函数f（x）在点x=0处可导，知函数f（x）在点x=0处连续，然后由e^x的右导数等于ax+b的左导数求得a值，再由连续求得b值．

解答 解：∵函数y=f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}，x＜0}\\{a+bx，x≥0}\end{array}\right.$．在点x=0处可导，
∴函数f（x）在点x=0处连续，
f（x）在x=0处可导，则其左右导数均存在且相等，且f（x）在x=0处连续．
ax+b与e^x在x=0处的右导数及左导数均存在．
e^x的左导数为1，
ax+b的右导数为a，故a=1；
由连续知：a×0+b=e⁰=1，即b=1．
故a=1，b=1．

点评 本题考查导数的运算，考查了函数可导与连续的关系，根据昨导数和右导数的关系是解决本题的关键．