Question

如图所示，正四面体V—ABC的高VD的中点为O，VC的中点为M.
（1）求证：AO、BO、CO两两垂直；

（2）求〈,〉.

Answer 1

（1）证明略（2）45°

(1) 设=a,=b, =c,正四面体的棱长为1,
则=(a+b+c),=(b+c-5a),
=(a+c-5b), =(a+b-5c)
∴·=（b+c-5a）·（a+c-5b）
=（18a·b-9|a|²）
=（18×1×1·cos60°-9）=0.
∴⊥，∴AO⊥BO，
同理⊥，BO⊥CO，
∴AO、BO、CO两两垂直.
（2） =+=-（a+b+c）+
=(-2a-2b+c).
∴||==，
||==，
·=（-2a-2b+c）·（b+c-5a）=，
∴cos〈,〉==，
∵〈,〉∈(0,),∴〈, 〉=45°.