Question

（1）如图1，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E是BC的中点．求证：AE⊥PD．
（2）如图2，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4．求证：平面BDE⊥平面BEC．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据底面ABCD为菱形与∠ABC的大小判断AE与AD的垂直性，在根据线线垂直?线面垂直证明即可．
（2）利用平面几何知识判断底面BC与BD的垂直性，再根据线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂．
解答：（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC为正三角形．
∵E为BC的中点，∴AE⊥BC
又BC∥AD，∴AE⊥AD，
∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
∴PA⊥AE，
又PA?平面PAD，AD?平面PAD，
且PA∩AD=A，
∴AE⊥平面PAD
又PD?平面PAD，∴AE⊥PD．
（2）证明：∵四边形ADEF为正方形，∴ED⊥AD．
又∵平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，ED?平面ADEF，
∴ED⊥平面ABCD
∴ED⊥BC
在直角梯形ABCD中，AB=AD=2，CD=4，可得BC=2．
在△BCD中，BD=BC=2，CD=4，
根据勾股定理得BC⊥BD
又BD∩ED=D，
∴BC⊥平面BDE
又∵BC?平面BEC，
∴平面BDE⊥平面BEC
点评：（I）本题考查线面垂直的判定与性质．通过证线面垂直来证明线线垂直是空间中证明线线垂直的常用方法．
（II）考查面面垂直的判定．在空间中利用线面垂直来证面面垂直是常用方法．