Question

【题目】已知函数f（x）＝lnx﹣x2+ax，a∈R．

（Ⅰ）证明lnx≤x﹣1；

（Ⅱ）若a≥1，讨论函数f（x）的零点个数．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析

【解析】

（Ⅰ）令进而求导求最值即可证得；

（Ⅱ）求函数导数，分析单调性，由f（1＞0，及，利用零点存在定理即可得解.

（Ⅰ）证明：令，

可得：x∈（0，1）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．

∴可得x＝1时，函数g（x）取得极大值即最大值，∴g（x）≤g（1）＝0，即lnx≤x﹣1．

（II）解：根据题意，．

令，解得 ，（负值舍去），

在（0，x0）上，，函数f（x）单调递增；在（x0，+∞）上，，函数f（x）单调递减．

∴f（x）max＝f（x0）．

当a＝1时，x0＝1，f（x）max＝f（1）＝0，此时函数f（x）只有一个零点1．

当a＞1时，，f（1）＝a﹣1＞0， ．

．

∴函数f（x）在区间和区间（1，2a）上各有一个零点．

综上可得：当a＝1时，函数f（x）只有一个零点1．

当a＞1时，函数f（x）有两个零点．