【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn , 若4Sn=(2n﹣1)an+1+1,且a1=1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设cn= ,数列{cn}的前n项和为Tn .
①求Tn;
②对于任意的n∈N*及x∈R,不等式kx2﹣6kx+k+7+3Tn>0恒成立,求实数k的取值范围.
【答案】
(1)解:∵4Sn=(2n﹣1)an+1+1,
∴4Sn﹣1=(2n﹣3)an+1,n≥2
∴4an=(2n﹣1)an+1﹣(2n﹣3)an,
整理得(2n+1)an=(2n﹣1)an+1,
即 =
,
∴ =3,
=
,…,
=
以上各式相乘得 =2n﹣1,又a1=1,
所以an=2n﹣1,
(2)解:①∵cn= =
=
(
﹣
),
∴Tn= (1﹣
+
﹣
+…+
﹣
)=
(1﹣
)=
,
②由①可知Tn= ,
∴ ≥
,
∵kx2﹣6kx+k+7+3Tn>0恒成立,
∴kx2﹣6kx+k+8>0恒成立,
当k=0时,8>0恒成立,
当k≠0时,则得 ,解得0<k<1,
综上所述实数k的取值范围为[0,1)
【解析】(1)充分利用已知4Sn=(2n﹣1)an+1+1,将式子中n换成n﹣1,然后相减得到an与an+1的关系,利用累乘法得到数列的通项,(2)①利用裂项求和,即可求出Tn ,
②根据函数的思想求出 ≥
,问题转化为kx2﹣6kx+k+8>0恒成立,分类讨论即可.
【考点精析】通过灵活运用数列的前n项和和数列的通项公式,掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系;如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式即可以解答此题.
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【题目】某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图,其中甲班学生成绩的平均分是85,乙班学生成绩的中位数是89.
(1)求和
的值;
(2)计算乙班7位学生成绩的方差.
(3)从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生,求乙班至少有一名学生的概率.
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【题目】已知椭圆的离心率
,两焦点分别为
,右顶点为
,
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设过定点的直线
与双曲线
的左支有两个交点,与椭圆
交于
两点,与圆
交于
两点,若
的面积为
,
,求正数
的值.
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【题目】已知,
是两条不同直线,
,
是两个不同平面,则下列命题正确的是( )
A. 若,
垂直于同一平面,则
与
平行
B. 若,
平行于同一平面,则
与
平行
C. 若,
不平行,则在
内不存在与
平行的直线
D. 若,
不平行,则
与
不可能垂直于同一平面
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【题目】已知A、B、C为△ABC的三个内角,且其对边分别为a、b、c,若cosBcosC﹣sinBsinC= .
(1)求角A;
(2)若a=2 ,b+c=4,求△ABC的面积.
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【题目】已知直线: (
为给定的正常数,
为参数,
)构成的集合为
,给出下列命题:
①当时,
中直线的斜率为
;
②中的所有直线可覆盖整个坐标平面.
③当时,存在某个定点,该定点到
中的所有直线的距离均相等;
④当时,
中的两条平行直线间的距离的最小值为
;
其中正确的是__________(写出所有正确命题的编号).
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【题目】在四棱锥中,底面
为平行四边形,
,
,
,
点在底面
内的射影
在线段
上,且
,
,
为
的中点,
在线段
上,且
.
(Ⅰ)当时,证明:平面
平面
;
(Ⅱ)当平面与平面
所成的二面角的正弦值为
时,求四棱锥
的体积.
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