Question

20．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都为1，且侧棱与底面垂直，M是BC的中点．
（1）求证：A₁C∥平面AB₁M；
（2）求直线BB₁与平面AB₁M所成角的正弦值；
（3）求点C到平面AB₁M的距离．

Answer 1

分析 （1）证明线面平行，通常利用线面平行的判定定理，这里我们可以利用中位线的性质，得到线线平行；
（2）过B作BD⊥B₁M于D，易得BD⊥平面AB₁M，故∠BB₁D是直线BB₁与平面AB₁M所成角；
（3）M是BC的中点，点C与点B到平面AB₁M的距离相等．

解答 （1）证明：连接A₁B，交AB₁于O，连接OM 
因为直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，所以O是A₁B的中点
因为O，M分别是A₁B和BC的中点，所以OM∥A₁C 
因为A₁C?面AB₁M，OM?面AB₁M
所以A₁C∥面AB₁M；
（2）解：由题意BB₁⊥AM，
∵M是BC的中点，∴BC⊥AM，
∴AM⊥平面B₁BM，
∴平面AB₁M⊥平面B₁BM，
过B作BD⊥B₁M于D，易得BD⊥平面AB₁M
故∠BB₁D是直线BB₁与平面AB₁M所成角．
Rt△BB₁D中，BD=$\frac{B{B}_{1}•BM}{{B}_{1}M}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴sin∠BB₁D=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴直线BB₁与平面AB₁M所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$；
（3）解：M是BC的中点，点C与点B到平面AB₁M的距离相等，
由（2）可知点B到平面AB₁M的距离BD=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴点C到平面AB₁M的距离为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 证明线面平行，通常运用线面平行的判定定理，求线面角遵循：作证求的步骤，属于中档题．