Question

有以下五个命题①y=sin2x+

9

sin2x

的最小值是6．②已知f(x)=

x- 11

x- 10

，则f（4）＜f（3）．③函数f（x）值域为（-∞，0]，等价于f（x）≤0恒成立．④函数y=

1

x-1

在定义域上单调递减．⑤若函数y=f（x）的值域是[1，3]，则函数F（x）=1-f（x+3）的值域是[-5，-3]．其中真命题是：

③

．

Answer 1

分析：①利用均值不等式进行放缩，注意取等号的条件；
②对f（x）进行求导，利用导数判断f（x）的增减性，从而进行判断；
③根据函数值域的定义进行判断；
④可以类比于反比例函数，对其进行判断；
⑤本题只是自变量x发生了变化，函数值y并未随之发生变化，可知f（x）与f（x+3）的值域一样，利用此信息进行求解；

解答：解：①∵y=sin2x+

9

sin2x

≥2

9

=6，当sin2x=

9

sin2x

时等号成立，即sin²x=3，∵sin²x≤1，取不到等号，所以函数y的最小值取不到6，故①错误；
②f(x)=

x- 11

x- 10

对其进行求导可得：f′（x）=

11 - 10

(x- 10 )2

＞0，在（-∞，

10

），（

10

，+∞）上是增函数，
∴f（3）＜f（4），故②错误；
③函数f（x）值域为（-∞，0]，可以说明f（x）≤0，故③正确；
④函数y=

1

x-1

在定义域为{x|x≠1}，在（-∞，1）和（1，+∞）上是减函数，
不能说在整个定义域上为减函数，故④错误；
⑤函数y=f（x）的值域是[1，3]，可得y=f（x+3）的定义域为[1，3]，
∴-2≤1-f（x+3）≤0，∴函数F（x）=1-f（x+3）的值域是[-2，0]，故⑤错误；
∴③正确；
故答案为：③；

点评：注意函数图象左右平移只是改变；自变量x的取值，函数的值域并不改变，此题主要考查均值不等式的利用以及利用导数研究函数的单调性，考查的知识点比较多，是一道综合题；