Question

如图，椭圆C：，a，b为常数），动圆，b＜t₁＜a．点A₁，A₂分别为C的左，右顶点，C₁与C相交于A，B，C，D四点．
（Ⅰ）求直线AA₁与直线A₂B交点M的轨迹方程；
（Ⅱ）设动圆与C相交A′，B′，C′，D′四点，其中b＜t₂＜a，t₁≠t₂．若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，证明：为定值．

Answer 1

【答案】分析：（I）设出线A₁A的方程、直线A₂B的方程，求得交点满足的方程，利用A在椭圆C上，化简即可得到M轭轨迹方程；
（II）根据矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的面积相等，可得A，A′坐标之间的关系，利用A，A′均在椭圆上，即可证得 =a²+b²为定值．
解答：（I）解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₂=x₁，y₂=-y₁，
∵A₁（-a，0），A₂（a，0），则直线A₁A的方程为y=（x+a）①
直线A₂B的方程为y=（x-a）②
由①×②可得：y²=（x²-a²）③
∵A（x₁，y₁）在椭圆C上，
∴
∴y₁²=b²（1-）
代入③可得：y²=（x²-a²）
∴（x＜-a，y＜0）；
（II）证明：设A′（x₃，y₃），
∵矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的面积相等
∴4|x₁||y₁|=4|x₃||y₃|
∴x₁²y₁²=x₃²y₃²
∵A，A′均在椭圆上，
∴b²x₁²（1-）=b²x₃²（1-）
∴x₁²-=x₃²-
∴a²（x₁²-x₃²）=x₁⁴-x₃⁴
∵t₁≠t₂，∴x₁≠x₃．
∴x₁²+x₃²=a²
∵y₁²=b²（1-），y₃²=b²（1-）
∴y₁²+y₃²=b²
∴=a²+b²为定值．
点评：本题考查轨迹方程，考查定值问题的证明，解题的关键是设出直线方程，求出交点的坐标，属于中档题．