Question

[已知数列{a_n}满足：a1=-

1

2

，a₂=1，数列{

1

an

}为等差数列；数列{b_n}中，S_n为其前n项和，且b1=

3

4

，4n•Sn+3n+1=3•4n．
（1）求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）记A_n=a_na_n+1，求数列{A_n}的前n项和S；
（3）设数列{c_n}满足cn=

bn

an

，T_n为数列{c_n}的前n项和，求x_n=T_n+1-2T_n+T_n-1的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据给出的数列{b_n}的前n项和所满足的等式，求出S_n，然后由bn=

S1(n=1) Sn-Sn-1(n≥2)

求出通项，继而可说明数列{b_n}是等比数列；
（2）由数列{

1

an

}为等差数列求出数列{a_n}的通项公式，然后运用裂项法求数列{A_n}的前n项和S；
（3）把a_n，b_n的通项公式代入求c_n，把x_n=T_n+1-2T_n+T_n-1变形后换上c_n，得到关于n的函数式，写出X_n+1，与X_n作差后分析差式的单调性，从而得到X_n的最大值．

解答：解：（1）由4n•Sn+3n+1=3•4n得，Sn=3-3•(

3

4

)n，当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=(

3

4

)n，又b1=

3

4

，故bn=(

3

4

)n，故数列{b_n}是等比数列；
（2）∵a1=-

1

2

，a2=1，∴

1

a1

=-2，

1

a2

=1，∴d=

1

a2

-

1

a1

=1-(-2)=3，∴

1

an

=-2+(n-1)•3=3n-5，则an=

1

3n-5

，
∴An=

1

(3n-5)(3n-2)

=

1

3

(

1

3n-5

-

1

3n-2

)，
∴S=

1

3

[(-

1

2

-1)+(1-

1

4

)+(

1

4

-

1

7

)+…+(

1

3n-5

-

1

3n-2

)]=

1

3

(-

1

2

-

1

3n-2

)=

-n

6n-4

；
（3）∵cn=(3n-5)•(

3

4

)n
∴xn=Tn+1-2Tn+Tn-1=(Tn+1-Tn)-(Tn-Tn-1)=cn+1-cn=(

3

4

)n(

14-3n

4

)，
xn+1-xn=(

3

4

)n+1(

11-3n

4

)-(

3

4

)n(

14-3n

4

)=(

3

4

)n(

3n-23

16

)，
故当n≤7时，{x_n}是递减的，当n≥8时，{x_n}是递增的，但n≥8时，x_n＜0
故x_n的最大值为x1=(

3

4

)•(

11

4

)=

33

16

．

点评：本题是等差数列和等比数列的综合题，考查了裂项法对数列求和，（3）的解答运用函数思想，借助于函数的单调性分析出了函数取最大值时的n的值，该题是中档以上难度题型．