Question

8．已知a＞0，b＞0，且2-log₂a=3-log₃b=log₆$\frac{1}{a+b}$，则$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{1}{108}$．

Answer 1

分析 设∴-2+log₂a=-3+log₃b=log₆（a+b）=x，则a=2^x+2，b=3^x+3，a+b=6^x，由此能求出值．

解答 解：∵正数a，b满足2-log₂a=3-log₃b=log₆$\frac{1}{a+b}$，
∴-2+log₂a=-3+log₃b=log₆（a+b）
设∴-2+log₂a=-3+log₃b=log₆（a+b）=x
则a=2^x+2，b=3^x+3，a+b=6^x，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{a+b}{ab}$=$\frac{{6}^{x}}{{2}^{x+2}•{3}^{x+3}}$=$\frac{{2}^{x}•{3}^{x}}{4×{2}^{x}×27×{3}^{x}}$=$\frac{1}{108}$
故答案为：$\frac{1}{108}$

点评 本题考查代数和的值的求法，解题时要认真审题，注意对数性质的合理运用．