Question

【题目】在直角坐标系xOy中，记函数的图象为曲线C1，函数的图象为曲线C2．

（Ⅰ）比较f（2）和1的大小，并说明理由；

（Ⅱ）当曲线C1在直线y＝1的下方时，求x的取值范围；

（Ⅲ）证明：曲线C1和C2没有交点．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）f(2)＞1，理由见解析；（Ⅱ）(log25,3)；（Ⅲ）证明见解析

【解析】

(Ⅰ)因为，求出f (2)的值，结合函数的单调性判断f (2)和1的大小．

(Ⅱ)因为“曲线C在直线y＝1的下方”等价于“f (x)＜1”，推出．求解即可．

(Ⅲ)求出两个函数的定义域，然后判断曲线C1和C2没有交点．

解： (Ⅰ)因为，

又函数y＝log3x是 (0，+∞)上的增函数，

所以f (2)＝log34＞log33＝1．

(Ⅱ)因为“曲线C在直线y＝1的下方”等价于“f (x)＜1”，

所以．

因为 函数y＝log3x是 (0，+∞)上的增函数，

所以 0＜8﹣2x＜3，

即 5＜2x＜8，

所以x的取值范围是 (log25，3)．

(Ⅲ)因为f (x)有意义当且仅当8﹣2x＞0，

解得x＜3．

所以f (x)的定义域为D1＝ (﹣∞，3)．

g (x)有意义当且仅当x﹣3≥0，

解得x≥3．

所以g (x)的定义域为D2＝[3，+∞)．

因为D1∩D2＝，

所以曲线C1和C2没有交点．