Question

【题目】已知函数的值域为，函数（）.

（1）求；

（2）求函数的值域；

（3）当时，若函数有零点，求的取值范围，并讨论零点的个数.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）见解析

【解析】

（1）利用分段函数的单调性分别求出各段的值域即可求解.

（2）设，由，将函数转化为二次函数，配方即可求值域.

（3）函数有零点，转化为函数与函数（）的图象有交点，由（2）可求出的取值范围；结合二次函数的图像可确定零点个数.

（1）单调递减，当时，，

单调递增，当时，，

或

（2）设，，或，

故得，

当时， ；

当时，

故的值域为

因为与的值域相同.故的值域为

（3）函数有零点，等价于方程有实根，

即方程有实根，

因此又等价于函数与函数（）的图象有交点

由（2）知，

所以当且仅当时，

函数有零点

下面讨论零点的个数：结合二次函数的图像与性质，由（2）可知

单调递减，单调递增，单调递增，

①当或当时，函数只有一个零点

②当时，函数有两个零点

③当时，函数没有零点