Question

4．如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=4，AB=6，点D，E，F分别在棱BB₁，CC₁，AF上，且BD=C₁E=$\frac{1}{2}$AF=1．
（1）求平面DEF与平面ABC所成锐二面角的大小；
（2）求点A₁到平面DEF的距离．

Answer 1

分析 （1）取AB中点G，以C为原点，CG为x轴，过C作AB的平行线为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面DEF和平面ABC的法向量，利用向量法能求出平面DEF与平面ABC所成锐二面角的大小．
（2）求出$\overrightarrow{E{A}_{1}}$和平面DEF的法向量，由此利用向量法能求出点A₁到平面DEF的距离．

解答 解：（1）取AB中点G，以C为原点，CG为x轴，过C作AB的平行线为y轴，CC₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
由已知得D（3$\sqrt{3}$，3，1），E（0，0，3），A（3$\sqrt{3}$，-3，0），
F（2$\sqrt{3}$，-2，0），B（3$\sqrt{3}$，3，0），C（0，0，0），
$\overrightarrow{EF}$=（2$\sqrt{3}$，-2，0），$\overrightarrow{ED}$=（3$\sqrt{3}$，3，-2），
设平面DEF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=2\sqrt{3}x-2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{ED}=3\sqrt{3}x+3y-2z=0}\end{array}\right.$，取x=2$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，3，9），
又平面ABC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设平面DEF与平面ABC所成锐二面角的平面角为θ，
cosθ=|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$|=|$\frac{9}{\sqrt{93}}$|=$\frac{3\sqrt{93}}{31}$．
∴平面DEF与平面ABC所成锐二面角的大小为arccos$\frac{3\sqrt{93}}{31}$．
（2）A₁（3$\sqrt{3}$，-3，4），$\overrightarrow{E{A}_{1}}$=（3$\sqrt{3}$，-3，1），
∴点A₁到平面DEF的距离：
d=$\frac{|\overrightarrow{E{A}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|9-9+9|}{\sqrt{93}}$=$\frac{3\sqrt{93}}{31}$．

点评 本题考查二面角的大小的求法，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．