Question

若a、b∈R，有下列不等式：①a²+3＞2a；②a²+b²≥2（a-b-1）；③a⁵+b⁵＞a³b²+a²b³；④a+

1

a

≥2．其中一定成立的是

 

．

Answer 1

分析：对于①，移项后利用二次式的配方法即可；对于②，左右作差后配成完全平方后即得；对于③，利用作差法；对于④，因为a不一定是正数，不能直接利用基本不等式得到．

解答：解：①a²+3-2a=（a-1）²+2＞0，
∴a²+3＞2a；
②a²+b²-2a+2b+2=（a-1）²+（b+1）²≥0，
∴a²+b²≥2（a-b-1）；
③a⁵+b⁵-a³b²-a²b³=a³（a²-b²）+b³（b²-a²）
=（a²-b²）（a³-b³）=（a+b）（a-b）²（a²+ab+b²）．
∵（a-b）²≥0，a²+ab+b²≥0，但a+b符号不确定，
∴a⁵+b⁵＞a³b²+a²b³不正确；
④a∈R时，a+

1

a

≥2不正确．
故答案为：①②．

点评：本题主要考查了不等式，涉及到基本不等式、作差比较法、二次函数的配方法等，属于基础题．