Question

观察下列不等式：1+

1

22

＜

3

2

，1+

1

22

+

1

32

＜

5

3

，1+

1

22

+

1

32

+

1

42

＜

7

4

，…由以上不等式推测到一个一般的结论：对于n∈N^*，1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜

2n-1

n

．

Answer 1

分析：由已知中的三个式子，我们分析每一个不等式右边的变化趋势，可以归纳出其通项为

2n-1

n

，由此即可得到结论．

解答：解：由已知中的不等式，1+

1

22

＜

3

2

，1+

1

22

+

1

32

＜

5

3

，1+

1

22

+

1

32

+

1

42

＜

7

4

…
我们可以得出不等式右边分式的分子是正奇数3，5，7，…，分母是正整数2，3，4，…，从而推断：
对于n∈N^*，1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜

2n-1

n

．
故答案为：

2n-1

n

．

点评：本题考查的知识点是归纳推理，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．