Question

设直线l₁：y=2x与直线l₂：x+y=6交于P点．
（1）当直线m过P点且与直线l₀：x-2y=0垂直时，求直线m的方程；
（2）当直线m过P点且坐标原点O到直线m的距离为2时，求直线m的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）先求出P的坐标，由直线m过P点且与直线l₀：x-2y=0垂直时，可得直线m的斜率，从而可得直线m的方程；
（2）分类讨论，根据直线m过P点且坐标原点O到直线m的距离为2时，利用点到直线的距离公式，即可求出直线m的方程．

解答： 解：（1）令2x=6-x，可得x=2，∴y=4，
∴交点（2 4）．
∵直线m和x-2y=0垂直，
∴直线m的斜率为-2，
∴直线m的方程y-4=-2（x-2），即2x+y-8=0；
（2）当直线的斜率存在时，设直线方程为y-4=k（x-2），即kx-y+4-2k=0
圆0到直线的距离d=

|-2k+4|

k2+1

=2，
解得k=

3

4

，
∴直线m的方程为y-4=

3

4

（x-2），即3x-4y+10=0；
当直线的斜率不存在时，方程为x=2，符合题意，
综上，直线m的方程为x=2或3x-4y+10=0．

点评：本题考查直线方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．