【题目】用长度分别为的四根木条围成一个平面四边形,则该平面四边形面积的最大值是____.
【答案】
【解析】
在四边形ABCD中,设AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,A+C=2α,利用余弦定理可得 SABCD2+((a2+d2﹣b2﹣c2)2=(ad+bc)2﹣abcdcos2α(ad+bc)2,设a=3,b=4,c=5,d=6,代入计算可得所求最大值.
在四边形ABCD中,设AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,A+C=2α,
由SABCD=S△BAD+S△BCD=adsinA+bcsinC,①
在△ABD中,BD2=a2+d2﹣2adcosA,
在△BCD中,BD2=b2+c2﹣2bccosC,
所以有a2+d2﹣b2﹣c2=2adcosA﹣2bccosC,
(a2+d2﹣b2﹣c2)=adcosA﹣bccosC,②
①2+②2可得SABCD2+((a2+d2﹣b2﹣c2)2
=(a2d2sin2A+b2c2sin2C+2abcdsinAsinC)+(a2d2cos2A+b2c2cos2C﹣2abcdcosAcosC)
= [a2d2+b2c2﹣2abcdcos(A+C)]= [(ad+bc)2﹣2abcd﹣2abcdcos2α]
=(ad+bc)2﹣abcdcos2α(ad+bc)2.
当α=90°,即四边形为圆内接四边形,此时cosα=0,
SABCD取得最大值为.
由题意可设a=3,b=4,c=5,d=6
则该平面四边形面积的最大值为S=6(cm2),
故答案为:6.
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【题目】某市组织了一次高二调研考试,考试后统计的数学成绩服从正态分布,其密度函数, x∈(-∞,+∞),则下列命题不正确的是( )
A. 该市这次考试的数学平均成绩为80分
B. 分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同
C. 分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同
D. 该市这次考试的数学成绩标准差为10
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【题目】已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与x轴非负半轴重合,直线的极坐标方程为,圆C的参数方程为,
(1)求直线被圆C所截得的弦长;
(2)已知点,过点的直线与圆所相交于不同的两点,求.
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【题目】为了解人们对某种食材营养价值的认识程度,某档健康养生电视节目组织名营养专家和名现场观众各组成一个评分小组,给食材的营养价值打分(十分制).下面是两个小组的打分数据:
第一小组 | ||||||||
第二小组 |
(1)求第一小组数据的中位数与平均数,用这两个数字特征中的哪一种来描述第一小组打分的情况更合适?说明你的理由.
(2)你能否判断第一小组与第二小组哪一个更像是由营养专家组成的吗?请比较数字特征并说明理由.
(3)节目组收集了烹饪该食材的加热时间:(单位:)与其营养成分保留百分比的有关数据:
食材的加热时间(单位:) | ||||||
营养成分保留百分比 |
在答题卡上画出散点图,求关于的线性回归方程(系数精确到),并说明回归方程中斜率的含义.
附注:参考数据:,.
参考公式:回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:,.
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【题目】某学校为调查该校学生每周使用手机上网的时间,随机收集了若干位学生每周使用手机上网的时间的样本数据(单位:小时),将样本数据分组为,绘制了如下图所示的频率分布直方图,已知内的学生有5人.
(1)求样本容量,并估计该校学生每周平均使用手机上网的时间;
(2)将使用手机上网的时间在内定义为“长时间看手机”;使用手机上网的时间在内定义为“不长时间看手机”.已知在样本中有位学生不近视,其中“不长时间看手机”的有位学生.请将下面的列联表补充完整,并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为该校学生长时间看手机与近视有关.
近视 | 不近视 | 合计 | |
长时间看手机 | |||
不长时间看手机 | 15 | ||
合计 | 25 |
参考公式和数据:.
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【题目】已知椭圆C: =1(a>b>0),e= ,其中F是椭圆的右焦点,焦距为2,直线l与椭圆C交于点A、B,点A,B的中点横坐标为 ,且 =λ (其中λ>1).
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)求实数λ的值.
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