Question

3．已知向量$\overrightarrow m=（cosx\;，\;-1）$，$\overrightarrow n=（\sqrt{3}sinx\;，\;{cos^2}x）$，设函数$f（x）=\overrightarrow m\;•\;\overrightarrow n$
（1）求f（x）在区间[0，π]上的零点
（2）若锐角△ABC，a=2，$f（A）=\frac{1}{2}$，求b+c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）进行数量积的坐标运算，并根据两角差的正弦公式化简即可得到$f（x）=sin（2x-\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}$，而令f（x）=0即可得出$sin（2x-\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，由x∈[0，π]即可求出2x-$\frac{π}{6}$的范围，从而求出x的值，即得出f（x）在区间[0，π]上的零点；
（2）由A为锐角及$f（A）=\frac{1}{2}$即可求出$A=\frac{π}{3}$，从而在△ABC中，由余弦定理即可得出4=b²+c²-bc，进而得出4=（b+c）²-3bc，根据基本不等式$bc≤（\frac{b+c}{2}）^{2}$，这样即可得出（b+c）²≤16，从而得出b+c的取值范围．

解答 解：（1）$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=\sqrt{3}sinxcosx-co{s}^{2}x$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-\frac{1+cos2x}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x-\frac{1}{2}$
=$sin（2x-\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}$；
∴$f（x）=sin（2x-\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}$；
令f（x）=0得，$sin（2x-\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$；
∵x∈[0，π]；
∴$2x-\frac{π}{6}∈[-\frac{π}{6}，\frac{11π}{6}]$；
∴$2x-\frac{π}{6}=\frac{π}{6}$，或$2x-\frac{π}{6}=\frac{5π}{6}$；
解得$x=\frac{π}{6}$，或$\frac{π}{2}$；
即f（x）在区间[0，π]上的零点为$\frac{π}{6}$和$\frac{π}{2}$；
（2）据题意：$A∈（0，\frac{π}{2}）$；
∴$2A-\frac{π}{6}∈（-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}）$；
∴由$f（A）=\frac{1}{2}$得：$sin（2A-\frac{π}{6}）=1$；
∴$2A-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$；
∴$A=\frac{π}{3}$；
又a=2；
∴在△ABC中，根据余弦定理得：
$4={b}^{2}+{c}^{2}-2bccos\frac{π}{3}$
=b²+c²-bc
=（b+c）²-3bc；
∵$bc≤（\frac{b+c}{2}）^{2}$；
即$bc≤\frac{（b+c）^{2}}{4}$；
∴$（b+c）^{2}-3bc≥\frac{（b+c）^{2}}{4}$；
∴$\frac{（b+c）^{2}}{4}≤4$；
∴（b+c）²≤16；
又b+c＞2；
∴2＜b+c≤4；
∴b+c的取值范围为（2，4]．

点评 本题考查数量积的坐标运算，两角差的正弦公式，函数零点的定义，熟悉正弦函数的图象，余弦定理，以及基本不等式，不等式的性质，两边之和与第三边的关系．