Question

对于任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数”．在实数轴R（箭头向右）上[x]是在点x左侧的第一个整数点，当x是整数时[x]就是x．这个函数[x]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．那么[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+[log₂4]+…+[log₂1024]=

8204

．

Answer 1

分析：根据题意可得，[log₂1]=0有1个0，[log₂2]=[log₂3]=1，有2个1，[log₂4]=[log₂5]=…=[log₂7]=2，有4个2
[log₂8]=[log₂9]=[log₂10]=…=[log₂15]=3，有8个3，[log₂1024]=10，则[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+[log₂4]+…+[log₂1024]=1×2+2×2²+3×2³+…+9×2⁹+10，令S=1×2+2×2²+…+9×2⁹，利用错位相减可求S，进而可求

解答：解：根据题意可得，[log₂1]=0有1个0，[log₂2]=[log₂3]=1，有2个1，[log₂4]=[log₂5]=…=[log₂7]=2，有4个2
[log₂8]=[log₂9]=[log₂10]=…=[log₂15]=3，有8个3，[log₂1024]=10
所以，[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+[log₂4]+…+[log₂1024]
=0+1+1+2+2+2+2+3+3+3+3+3+3+3+3+…+10
=1×2+2×2²+3×2³+…+9×2⁹+10
令S=1×2+2×2²+…+9×2⁹
2S=1×2²+2×2³+…+8×2⁹+9×2¹⁰
所以，-S=2+2²+…+2⁹-9×2¹⁰
=

2(1-29)

1-2

-9×210=  -2-8×210
所以，S=8×2¹⁰+2=8194
故答案为：8204

点评：本题以新定义取整函数为切入点，主要考查了归纳推理的应用，及数列求和的错位相减的求和方法的应用，是一道构思巧妙的试题．