Question

设直线l过点P（-3，3），且倾斜角为

5

6

π
（1）写出直线l的参数方程；
（2）设此直线与曲线C：

x=2cosθ y=4sinθ

（θ为参数）交A、B两点，求|PA|•|PB|

Answer 1

分析：（1）根据直线的参数方程的特征及参数的几何意义，直接写出直线的参数方程．
（2）设点A，B的坐标分别为A（-3-

3

2

t₁，3+

1

2

t₁），B（2-

3

2

t₁，3+

1

2

t₁）．把直线L的参数方程代入圆的椭圆的方程4x²+y²=16整理得到t²+（12

3

+3）t+

116

13

=0，由根与系数的关系及t的几何意义可知|PA||PB|=|t₁||t₂|，从而求得结果．

解答：解：（1）由于过点（a，b） 倾斜角为α 的直线的参数方程为  

x=a+t•cosα y=b+t•sinα

（t是参数），
∵直线l经过点P（-3，3），倾斜角α=

5π

6

，故直线的参数方程是

x=-3- 3 2 t y=3+ 1 2 t

（t是参数）．…（5分）
（2）因为点A，B都在直线l上，所以可设它们对应的参数为t₁和t₁，则点A，B的坐标分别为A（-3-

3

2

t₁，3+

1

2

t₁），B（2-

3

2

t₁，3+

1

2

t₁）．
把直线L的参数方程代入椭圆的方程4x²+y²=16整理得到t²+（12

3

+3）t+

116

13

=0①，…（8分）
因为t₁和t₂是方程①的解，从而t₁t₂=

116

13

，
由t的几何意义可知|PA||PB|=|t₁||t₂|=

116

13

． …（10分）
即|PA|•|PB|=

116

13

．

点评：本题主要考查直线的参数方程，以及直线的参数方程中参数的几何意义，直线和圆的位置关系的应用，属于基础题．